Les maths pour le concours IFSI.

[Leopold Anasthase]

En partant du fait que toutes les bonnes réponses valent le même nombre de points on a : 20/90=0.22 points par question .[...]
On obtient une note de 4.95/20 !

Vous faites le même raisonnement que la personne précédente, càd qu'une réponse sur quatre sera bonne. En fait, on obtient 5/20, mais comme vous êtes passé par l'approximation de la note, ça fausse le résultat.

En fait, il faut faire du dénombrement. Pour chaque question, il y a quatre possibilités, il y a donc 4^90 "tirages" différents possibles. Pour chaque note, un certain nombre de tirages doit correspondre à la bonne réponse. Ça laisse donc un certain nombre de possibilités d'avoir chaque note.

La note la plus probable sera celle où le ratio (tirages possibles)/(nombre total de tirages) sera le plus élevé.

[Leopold Anasthase]

En attendant d'avoir une illumination pour ce problème, je vous propose un autre problème de probabilités.

Soit un couple, un monsieur et une madame, en bonne santé, jeunes, beaux et vigoureux. Ils décident d'avoir un bébé, et ils font tout ce qu'il faut pour. Pour chaque cycle, leurs chances de succès (la probabilité que madame soit enceinte) est de 1/6.

En considérant que madame a des cycles réguliers de 28 jours, combien de temps faut-il pour qu'il y ait plus de chances de succès que d'échec ? Combien de temps faut-il pour que la probabilité que madame ne soit pas enceinte soit inférieure à 5 %, à 3 %, à 1 % ?

[leonora]

Sacré Leopold

Je ne vois pas du tout comment m'y prendre pour résoudre ton problème.
Que mes cours de probabilités (si j'en ai eus) sont loin et oubliés !
Si j'en reste à ma logique idiote, je dirais que au bout du septième mois, elle commencera à avoir une chance d'être enceinte, mais je sais que tu vas me dire que ce n'est pas ça et que je confonds les femmes enceintes et les paires de chaussettes

[Leopold Anasthase]

Il faut calculer la probabilité à chaque cycle (au premier, au deuxième etc.) qu'elle ne soit pas enceinte. Pour qu'elle ne soit pas enceinte au deuxième cycle, il faut qu'elle ne soit enceinte ni au premier ni au deuxième. Et ainsi de suite. Et regarder au bout de combien de cycles cette probabilité passe en-dessous de 50 %, 5 %, 3 % et 1 %.

On peut imaginer qu'on lance un dé tous les 28 jours, et que madame sera enceinte si on fait un six, et pas enceinte dans les autres cas.

Avant qu'on ne me le fasse remarquer, oui, je sais, ça n'est pas en jouant aux dés qu'on fait les bébés...

[Leopold Anasthase]

Je suis surpris que personne n'aie d'inspiration sur ce problème, plutôt classique en fait.

Au premier cycle, la probabilité pour qu'elle ne soit pas enceinte est de 5/6 (83 %).

Au deuxième cycle, pour que madame ne soit pas enceinte, il faut un échec au premier et au deuxième cycle, donc probabilité (5/6) x (5/6) = 0,694 (69 %).

Et ainsi de suite. Je vous laisse faire les calculs suivants.

Au total, à chaque cycle, madame a la même probabilité de tomber enceinte, et ce quels que soient les résultats des cycles précédents. Mais plus le nombre de cycles augmente, plus le fait de ne pas être enceinte devient improbable.

[Just-Tite-Miss]

Leopold t'as pas du un peu plus facile!!

[Leopold Anasthase]

Leopold t'as pas du un peu plus facile

Le calcul de probabilité se base toujours sur le même principe : combien y a-t-il d'événements favorables, combien y a-t-il d'événements possibles ? La probabilité d'obtenir tel résultat, c'est le rapport entre le nombre d'événements favorables et le nombre d'événements possibles.

Je vous propose un calcul un peu différent et assez original, au résultat surprenant. Supposons que vous soyez plusieurs amis, et vous devez décider qui choisira le premier sa part de gateau, ou qui conduira la voiture, ou qui commencera la partie de poker. Si vous êtes deux, le plus simple est de jouer à pile ou face, ou à pair ou impair. Mais si vous êtes trois ou quatre, c'est plus complexe.

Vous décidez de lancer chacun un dé, celui qui tirera le plus petit nombre aura gagné. Cette méthode a l'avantage d'établir un classement. Mais il est possible que deux personnes tirent le même nombre.

Quelle est la probabilité pour deux, trois, quatre, cinq ou six joueurs, de tirer des nombres différents avec un dé à six faces ?

Une fois que vous avez compris, vous pouvez généraliser le calcul et recommencer avec un dé à 8 faces, à 12 faces ou à 20 faces, et un nombre de joueurs de 2 à 8, 2 à 12 et 2 à 20.

Concernant le nombre de faces des dés, il faut qu'un dé soit un polyèdre régulier convexe (généralement un peu tronqué). Or il existe un petit nombre de polyèdres réguliers : le tétraèdre (4 faces, triangles équilatéraux), le cube (6 faces carrées), l'octaèdre (8 faces triangles), le dodécaèdre (12 faces, pentagones), et l'icosaèdre (20 faces, triangles).

C'est comme ça que j'ai choisit le nombre des faces des dés (6, 8, 12 et 20).

Ce problème est connu sous le nom de "paradoxe des anniversaires". Si on considère que l'année a 365 jours (on élimine les personnes nées le 29 février), quel est à votre avis le nombre de personnes qu'un groupe doit comporter pour que la probabilité que deux anniversaires tombent le même jour soit supérieure à 0,5 ?

Autrement exprimé, si j'ai autour de moi 10 personnes, 20 personnes, ou 50 personnes que je ne connais pas, quelle est la probabilité que deux personnes au moins aient leur anniversaire qui tombe le même jour ?

[Just-Tite-Miss]

oual!!! c'est très complexe tout ca!!

[Leopold Anasthase]

Vous décidez de lancer chacun un dé, celui qui tirera le plus petit nombre aura gagné. [...] Quelle est la probabilité pour deux, trois, quatre, cinq ou six joueurs, de tirer des nombres différents avec un dé à six faces ?

Comme d'habitude, il faut calculer le nombre total de tirages possibles et le nombre de cas favorables, et faire le rapport.

Si vous êtes deux joueurs, que le dé a six faces, quelle est la probabilité que chaque joueur aie un résultat différent ?

1) Nombre de cas favorables

Pour le premier joueur, peu importe le résultat obtenu. Il y a donc 6 possibilités. Pour le deuxième joueur, il ne reste que 5 possibilités.

Nombre de cas favorables : 6 x 5 = 30

2) Nombre de cas possibles

6 possibilités pour le premier joueur, 6 possibilités pour le deuxième, au total 6 x 6 = 36 tirages possibles

La probabilité que les deux tirages soient différents est donc de 30/36 soit 83 %.

S'il y a 3 joueurs, nombre de cas favorables

6 x 5 x 4 = 120

nombre de cas possibles 6 x 6 x 6 = 216

probabilité que les trois tirages soient différents : 120/216 = 55 %

Avec 4 joueurs, c'est 28 %. À 5 joueurs, c'est 9 %.Et si vous êtes six, c'est 1,5 %.

Donc si vous êtes 5 joueurs, dans plus de 9 cas sur 10, au moins deux joueurs tireront le même nombre.

Jusque là, rien de très surprenant. Mais si le dé a 20 faces et qu'il y a 10 joueurs, vous n'avez que 6,5 % de chances que tous les tirages soient différents.

On peut présenter les résultats différemment : en fonction du nombre faces du dé, à partir de combien de joueurs la probabilité que tous les tirages soient différents passe en-dessous de 0,5 ? Autrement exprimé, au bout de combien de joueurs il devient plus probable qu'au moins deux joueurs obtiennent le même résultat ?

Pour un dé à 6 faces, c'est à partir de 4 joueurs.

Pour un dé à 8 faces, c'est à partir de 4 joueurs.

Pour un dé à 12 faces, c'est à partir de 5 joueurs.

Pour un dé à 20 faces, c'est à partir de 6 joueurs.

[Leopold Anasthase]

Ce problème est connu sous le nom de "paradoxe des anniversaires". Si on considère que l'année a 365 jours (on élimine les personnes nées le 29 février), quel est à votre avis le nombre de personnes qu'un groupe doit comporter pour que la probabilité que deux anniversaires tombent le même jour soit supérieure à 0,5 ?

Autrement exprimé, si j'ai autour de moi 10 personnes, 20 personnes, ou 50 personnes que je ne connais pas, quelle est la probabilité que deux personnes au moins aient leur anniversaire qui tombe le même jour ?

Je pars en voyage organisé, le car transporte 50 personnes. Après avoir fait un peu de cinéma et m'être déguisé en médium genre Pierre Dac et Francis Blanche, vous annoncez à l'assemblée qu'au moins deux personnes ont la même date d'anniversaire.

Malgré le fait qu'il y ait 365 jours dans l'année, vous avez 97 % de chances d'avoir raison.

Ne vous trompez pas dans l'énoncé, n'annoncez pas "parmis vous, au moins une personne a la même date d'anniversaire que moi". Dans ce cas, avec 50 personnes, vous auriez 87 % de chances de vous tromper.

[Just-Tite-Miss]

oula!!!!!!!

[Leopold Anasthase]

Supposons que vous soyez plusieurs amis, et vous devez décider qui choisira le premier sa part de gateau, ou qui conduira la voiture, ou qui commencera la partie de poker. Si vous êtes deux, le plus simple est de jouer à pile ou face, ou à pair ou impair. Mais si vous êtes trois ou quatre, c'est plus complexe.

Dans la même veine, vous connaissez tous le jeu de Pierre Feuille Ciseaux. Il se joue à deux. Une main derrière le dos, on compte un deux trois pierre feuille ciseaux et chaque adversaire sort sa main de son dos en montrant soit une pierre (le poing fermé), soit une feuille (la main à plat, les doigts étendus et joints), soit des ciseaux (l'index et le majeur formant les ciseaux, les autres doigts sont repliés).

La pierre gagne contre les ciseaux (la pierre abime les ciseaux) qui gagnent contre la feuille (les ciseaux coupent la feuille) qui gagne contre la pierre (la feuille enveloppe la pierre).

Mais si les deux protagonistes sortent le même symbole, le match est nul et il faut recommencer.

Soient A et B les adversaires. Quelles sont les probabilités que A gagne, que A perde, et qu'il y ait match nul ?

[Prosper]

a vu de nez, 1 chance sur 3 dans les 3 cas.

[Leopold Anasthase]

a vu de nez, 1 chance sur 3 dans les 3 cas.

Et pas à vue de nez, en dénombrant les situations favorables et le nombre total des situations ?

[Prosper]

pour que A gagne
- B perds
2 cas parallele :
- match nul
- B gagne

1 chance sur 3

(pareil pour les deux autres)